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V2EX  ›  数学

求教一道数学题

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  •   qinjiannet · 2016-09-23 15:41:06 +08:00 · 1650 次点击
    这是一个创建于 973 天前的主题,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。

    有 9 个数字,其中 2 个数为“目标数”。给 5 次机会,每次允许猜 2 个数,每次猜测会被告知猜对的数字个数。

    求 5 次机会用完, 2 个“目标数”全部找出的概率。

    并请简述过程。

    第 1 条附言  ·  2016-09-24 09:47:21 +08:00
    题目有歧义,可以有两种理解:

    1) 在 5 次猜测中的某 1 次,猜对的“目标数”个数应为 2 个。

    2) 在 5 次机会用完时,可以猜对或者明确推断出 2 个目标数。

    这里取第一种理解。
    9 回复  |  直到 2016-10-01 23:01:23 +08:00
        1
    Hsinchu   2016-09-23 16:39:18 +08:00 via Android   ♥ 1
    用最优方案,算出 5 次仍然未能找到目标数的概率。
    我的方案是,每次取两个数,不重复,取 4 次。没能找出目标数的情况是两种,两组各对一个,一组对一个。一组对一个的情况说明剩余一个是对的,取那个对的和不确定的两个中的一个,一定能确认出两个对的数字。两组各对一个的情况下, a1 和 a2 一组, b1 和 b2 一组,取 a1 和 b1 ,对的数量是 0 和 2 的话都能确定目标数,否则取 a1 和 b2 ,肯定能确定目标数。
    方案说好了,来看 5 次不够用的情况,首先要是找到两组各对 1 个,并且是花掉了 4 次机会,然后是 a1 和 b1 对的数量是 1 。也就是第四组里有一个,前三组里有一个。(2/9)*(6/9)*2*(1/2)=4/27.
    5 次以内的概率是 23/27 。
        2
    Baymaxbowen   2016-09-23 16:41:28 +08:00 via Android
    好像当初学 c ++的时候做过这个,
        3
    qinjiannet   2016-09-23 17:44:35 +08:00
    @Hsinchu 是否是这样:

    数字 1-9 按照 1 2 , 3 4 , 5 6 , 7 8 的顺序猜, 5 次不中的情况:

    情况一: 1-8 中有一个数,另一个数是 9 ,猜不中的概率:(2/9) * (1/2) = 1/9
    情况二: 7-8 中有一个数, 1-6 中有一个数,猜不中概率:(12/36) * (1/2) = 1/6

    5 次可以猜中的概率为 13 / 18
        4
    qinjiannet   2016-09-23 18:31:35 +08:00
    @Hsinchu 上面的答案有误,以这个为准:

    数字 1-9 按照 1 2 , 3 4 , 5 6 , 7 8 的顺序猜, 5 次不中的情况:

    情况一: 1-8 中有一个数,另一个数是 9 ,猜不中的概率:(8/36) * (1/2) = 1/9
    情况二: 7-8 中有一个数, 1-6 中有一个数,猜不中概率:(12/36) * (3/4) = 1/4
    情况三: 1-4 中有一个数, 5-6 中有一个数,猜不中概率:(8/36) * (1/2) = 1/9

    5 次可以猜中的概率为 19 / 36
        5
    lithium4010   2016-09-24 00:59:48 +08:00 via Android
    答案要是不是 1 就没意思
        6
    Hsinchu   2016-09-24 04:10:29 +08:00   ♥ 1
    @qinjiannet 我觉得你有个问题没意识到,找到目标数并不是说其中一次猜的两个数就得是目标数,你只要能通过推理确定目标数就够了。或者你没弄懂我的方案。你的情况一 5 次怎么不够,用掉 4 次确定 9 号是目标以及另一个目标在某两个中,在取 9 号和两个中的一个,不管是对 1 个还是两个都能确定目标。情况 2 下猜不中概率是 1/2 ,情况 2 发生的概率是 2*12/81 ,所以情况 2 猜不中概率是 4/27 。情况 3 下 5 次也是够的。
        7
    qinjiannet   2016-09-24 09:49:27 +08:00
    @Hsinchu 题目的确有歧义,已经追加了一个说明。另外如果按照你的这种理解,是不是应该给出下面的答案:

    1-6 中一个数, 7-8 中一个数, 12/36 * 1/2 = 1/6
    1-8 中有一个数,另一个数是 9 (8/36) * (1/2) = 1/9

    5 次可以猜中的概率为 2 / 3
        8
    qinjiannet   2016-09-24 10:00:57 +08:00
    @Hsinchu 哦, 1-8 中有一个数,另一个数是 9 可以明确得出结论。

    那么无法推断的情况就只剩下一种: 1-6 中一个数, 7-8 中一个数, 12/36 * 1/2 = 1/6

    答案应该是 5/6

    情况二发生的概率应该是(6 * 2) / C[9, 2] = 12 / 36 = 1 / 3

    情况二无法推断的概率是 2 / 4 = 1 / 2
        9
    qinjiannet   2016-10-01 23:01:23 +08:00
    @Hsinchu 第二次更正:

    问题 1) 在 5 次猜测中的某 1 次,猜对的“目标数”个数应为 2 个。

    情况三: 1-4 中有一个数, 5-6 中有一个数,猜不中的概率: 8/36 * 1/4 = 1/18

    综合 3 种情况,猜中的概率应该是 1 - (1/9 + 1/4 + 1/18) = 7/12
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