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最近在回头看数学，发现有个很基础的概念，数学期望总是无法理解。假如是有限的可能性，比如 6 面均匀骰子，问摇到的点数的期望是多少，那就是 sum(range(1,7))/6=3.5 这没问题。但假如问，第一次摇到 6 时，已经是第几次摇骰子的期望就无法理解了。
因为它有可能永远都摇不到 6，哪怕概率很小，但也是无数个可能，但用积分很符合直觉，能理解，收敛到某一处。但问题是，期望也可以递归，所以就有，假设 E 是第一次摇到 6 时已经摇过的次数的数学期望，有：
E = 1 * (1/6) + (E+1) *5/6
这里的逻辑是：第一次就摇到 6，有 1/6 概率，并且 1 表示投过一次，能理解。所以除了第一次摇到的概率等于 1-1/6=5/6 也能理解，但 E+1 是怎么出来的？为什么不是 E-1 ！？为什么还没计算，就知道摇到 2~无限次的数学期望是 E+1 呢？怎么的出来的呢？有些人说用均值理解，我觉得那样更难理解，完全不同的东西。
数学期望抽象层面上，我理解成大量重复试验，可达成的普遍性结果。均值不一定是大量重复试验，我可以投 2 次硬币，然后说在我投硬币时，平均每次都得到一个 head 或 tail。
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nl101531 2018-01-30 21:51:30 +08:00 via Android
头晕。
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Philippa OP 积分求极限时很容易理解，虽然我也解释不清楚"为什么积分能够用无限来让无限的东西收敛"，但数学应该是各种体系相互连通的，想不明白，从积分出发（考虑到无限个可能性组合），是如何得出 E = 1 * (1/6) + (E+1) *5/6 这种有限个可能性的。
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ZyZyZzz 2018-01-30 22:01:46 +08:00 via Android
只想问一个比较蠢的问题：
6 面骰子用 range(1,7) ....7 ? |
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Philippa OP range(1,7)，开始是闭区间，结束为开区间，所以 range(1,7)生成 iterable object [1,2,3,4,5,6] @ZyZyZzz
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Biggoldfish 2018-01-30 22:23:41 +08:00  2
这挺显然的啊
E+1 代表第一次摇骰子没有摇到 6 的情况下，第一次摇到 6 时已经摇过的次数的数学期望 换句话说，相当于一个递归的子问题，因为第一次已经确定不是 6，直接忽略第一次，那么从第二次开始计数，则又是一个求"第一次摇到 6 时已经摇过的次数的数学期望"问题，其期望就是 E，再把第一次确定不是 6 的加入进去就是 E+1 （写出来有点绕 |
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Philippa OP @Biggoldfish 谢谢！我理解了。原来 E+1 的意思是“第一次没有摇到 6，然后要摇到 6 的期望次数”。因为期望是 E 次，又因为第一次已经确定不是（有条件的期望），但每次摇都是独立事件所以 E 不变，所以就有 E+1 就是摇不到 6 的情况。这已经是骰子每一种可能性都相同的情况下了，接下来看看不等可能性的应该能看懂了。
感谢。 |
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Philippa OP 摇到 6 的期望=第一次摇到 6 的可能性*第一次摇到 6 的期望 + 第一次摇不到 6 的概率*之后能摇到 6 的期望。原来如此！
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geelaw 2018-01-30 22:35:13 +08:00 1
从级数的角度也可以理解呀，因为
E = EXP[次数] = sum of k*(5/6)^(k-1)*1/6 for k = 1 to infinity = 1*(5/6)^0*1/6 + sum of k*(5/6)^(k-1)*1/6 for k = 2 to infinity = 1/6 + 5/6 * sum of (k+1)*(5/6)^(k-1)*1/6 for k = 1 to infinity = 1/6 + 5/6 * EXP[次数+1] = 1/6 + 5/6 (E+1) |
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wingkou 2018-01-30 22:48:42 +08:00 via Android
积分？是无穷级数吧...
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lance6716276 2018-01-30 23:36:17 +08:00 via Android
没有记错的话，几何分布是高中数学的内容…为什么不好好学习…
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leeg810312 2018-01-30 23:36:52 +08:00 via Android
对于积分，我觉得实际应用可以帮助理解。例如平面圆的面积，在没有计算π之前，可以均分等腰三角形来计算面积并求和，均分越多，三角形面积和越逼近圆，每个三角形面积无限逼近 0，这就是无限和收敛。以实际工程应用来说，测 1 分钟水流量，仪表可以每 5 秒记录，也可以每 2 秒记录，计量的频率越高，累加值越逼近实际值，水是持续流动，如果仪器能够做到更高精度，每毫秒记录的累计值会更准确，计量频率无限大，每次记录的值也是逼近 0。
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Philippa OP @lance6716276 现在上班之后遇到问题又自知之明，自我驱动地学习已经很满足了
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Philippa OP @leeg810312 Cheers ！我在 B 站的 bluebrown 视频里学到了这个
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lance6716276 2018-01-31 00:22:03 +08:00 via Android
@Philippa 可以看看 mooc
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Philippa OP @lance6716276 在看 brillant 的概率教程，果然是几何分布，相加展开即可，想起以前的课程了。
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chiu 2018-01-31 07:48:43 +08:00 via Android
我上的是 V 站？
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