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James369
V2EX  ›  数学

为什么高阶混合偏导数与求导顺序无关?

  •  
  •   James369 · 266 天前 · 1641 次点击
    这是一个创建于 266 天前的主题,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。
    如:z = f(x,y)
    那么:
    f 先对 x 求偏导再对 y 求偏导 = f 先对 y 求偏导再对 z 求偏导,推导出来的求导公式也是一样的。 扩展到 x,y,z 多元函数也是一样的。
    不是很理解,为什么会有这样的性质?
    15 条回复    2021-03-11 22:21:41 +08:00
    lcdtyph
        1
    lcdtyph  
       266 天前 via iPhone
    求导次序无关的前提是混合偏导数在那个点连续
    polaa
        2
    polaa  
       266 天前   ❤️ 1
    维基百科 搜索:Symmetry of second derivatives
    SJ2050cn
        3
    SJ2050cn  
       266 天前
    从公式上好推,但如何从物理直观的角度解释不清楚,但在工程上,这个定理用的和公理一样,大自然大多情况下都满足连续光滑的条件。
    James369
        4
    James369  
    OP
       266 天前
    @lcdtyph 在那个点连续只是一个前提条件,我是对结论不大理解(几何上也不理解)
    lance6716
        5
    lance6716  
       266 天前 via Android
    这个有证明啊
    yangyaofei
        6
    yangyaofei  
       266 天前 via Android
    比如二元函数的导数相当于一个平面,而他的偏导就是延某个数轴的一条线,两条线和一个点就确定一个平面了,也就是对应到混合偏导上了。而不连续的话,肯定是从某个方向上做不了偏导或者左右偏导不同,相当于出线两条线,就无法获得最终的混合偏导的面了。
    siyemiaokube
        7
    siyemiaokube  
       266 天前 via iPhone
    一种观点认为,所谓的“理解”数学,更多是一种“信任”或“习惯”,就像是你去“理解”一个 zippo 打火机。

    对于这个问题,一种几何上的解释是:对某个维度求偏导,可以理解为在对应的方向上对“变化率”进行了“描述”。对于常见的连续的情况,你以不同的次序来从各个维度上逐步“描述”出全微分,在几何上来看自然是会呈现出相同的结果。
    siyemiaokube
        8
    siyemiaokube  
       266 天前 via iPhone
    据说《线性与非线性泛函分析及其应用 /恰莱》是一本高质量的教材,可以帮助你从更多的角度看待分析学。

    (然鹅我并没有读下去……
    geelaw
        9
    geelaw  
       266 天前 via iPhone   ❤️ 2
    这件事情对于“可分解”多元函数自然成立,所谓“可分解”二元函数,是指形如 f1(x)g1(y)+...+fn(x)gn(y) 的函数,其中各 f 、g 都可导,先对还是后对 x 求导数没有任何区别。

    多项式函数就是“可分解”的,把多项式转换为幂级数,则可以看出此性质对多元解析函数成立。

    实际情况是它对足够好的函数都成立,Peano 的版本是:如果 Dx 、DyDx 、Dy 在开集里存在,DyDx 内点连续,则 DxDy 存在且和 DyDx 相等。

    在“好的函数”的世界里,各种操作可以换序是常态。
    geelaw
        10
    geelaw  
       266 天前 via iPhone   ❤️ 1
    @yangyaofei #6 您似乎混淆了方向导数和高阶导数。

    @siyemiaokube #7 这里的问题应该对应高阶微分,即是要问为什么各个二阶偏导数组成的双线性形式就对应二阶微分里的二次形式。二次形式总是用对称阵描述,而双线性形式不一定。马后炮来说,从美感上讲应该有这件事成立,即双线性形式 A 就是它对称化的结果 (A+A')/2 。
    James369
        11
    James369  
    OP
       266 天前
    @siyemiaokube 这可能不是一个信任的问题了,我有点怀疑自己对微积分的理解还处于非常的肤浅程度。
    数学真是一种强大的抽象和建模工具啊,要是能理解它那该多好。
    ungrown
        12
    ungrown  
       266 天前
    因为坐标轴正交(垂直),所以 x 轴分量不管有啥幺蛾子都不会导致 y 轴分量变化,所以可以把各个分量分别处理完,而不用担心它们彼此影响
    YhXyt
        13
    YhXyt  
       266 天前
    。。。。是我不对劲还是你们不对劲
    yangyaofei
        14
    yangyaofei  
       265 天前 via Android
    @yangyaofei 一个容易理解的比喻,我觉得差不多,严格的搞证明什么的,才是楼主最不想看到的吧,理解了就好
    yangyaofei
        15
    yangyaofei  
       265 天前 via Android
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