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James369
V2EX  ›  数学

概率中的 P(Ω)=1 应该怎么理解?

  •  
  •   James369 · 217 天前 · 1235 次点击
    这是一个创建于 217 天前的主题,其中的信息可能已经有所发展或是发生改变。
    在学习事件独立性的时候(说是Ω与任意事件独立)。碰到 P(Ω)=1 这个式子,但是没明白具体意思。
    它是说:
    所有事件(同时)发生的概率为 1,还是说所有事件发生的概率之和为 1,还是说必然事件发生的概率为 1 呢?
    所以就很难理解:Ω与任意事件是独立的?
    14 条回复    2021-04-29 15:56:21 +08:00
    66beta
        1
    66beta  
       217 天前
    Ω 是所有事件的集合
    骰子可以是 1,2,3,4,5,6
    P({1,2,3,4,5,6}) 必定发生
    whileFalse
        2
    whileFalse  
       217 天前
    就是预先设定的规则,主要情况必然发生,排除意外情况的发生概率。
    比如我们说抛硬币,我们设定结果一定是正面反面之一,而不可能是硬币立住了。这样正面反面加起来就是Ω,而Ω一定发生。
    实际上抛硬币,可不可能硬币立住了呢?或者硬币滚丢了 /被人抢走了?这些都可能发生,所以实际上如果你仅仅把Ω视为“正面加反面”,那么 P(Ω)是小于 1 的。但在计算时我们简化模型,不考虑上述意外情况。
    Celebi
        3
    Celebi  
       217 天前   ❤️ 3
    Ω是样本空间,P(Ω)=1 是指「包含所有样本点的事件」发生的概率为 1 。如果Ω可数的话,也就是所有样本点ω发生的概率的和为 1 。

    不论在什么事件已经发生的情况下,「包含所有样本点的事件」(Ω) 发生的概率都为 1 。

    也就是,∀A∈事件域 F,P(ΩA)=P(Ω|A)P(A)=1·P(A)=P(Ω)P(A)。所以Ω与任意事件 A 独立。
    IgniteWhite
        4
    IgniteWhite  
       217 天前
    @Celebi 君条件概率真正上手啊
    Aalen
        5
    Aalen  
       217 天前   ❤️ 1
    别的不说。。。。

    补充一点,发生的概率是 1,并不是必然发生。

    比如你往实数轴上随便选一个点,选中无理数的概率是 1 。但是选中有理数不是不可能发生的
    ipwx
        6
    ipwx  
       217 天前
    “所有事件发生的概率之和为 1” —— 这个理解很接近正确了
    GuuJiang
        7
    GuuJiang  
       217 天前 via iPhone
    数学问题要从定义出发,不要从直觉出发,“独立”在概率论里只有一个明确的定义,那就是 P(A)P(B)=P(AB) ⇔ A 和 B 独立,因此把 P(Ω)=1 代进去,显然成立
    geelaw
        8
    geelaw  
       217 天前 via iPhone
    这个问题本身就令我感到困惑,如果你不是高中生的话。

    P(Omega)=1 是概率空间定义的一部分。没有理解概率空间的定义,怎么能谈“事件”?不能谈“事件”,怎么能谈“独立”?要问 P(Omega)=1 的意义应该在学习概率的定义的时候就问,到“事件独立”的定义再问似乎有点太晚了。

    作为定义的一部分,它意在刻画“必然事件以 1 的概率发生”。

    @Celebi #3 这个论证过程不好,因为你需要给概率是 0 的事件 A 定义条件概率,而通常是不考虑这个问题的。

    回到直观理解必然事件与任意事件独立的问题上,这原因很简单,因为 A 和 B 独立的直观理解是“知道 A 是否发生,不会改变 B 是否发生的概率”。因为必然事件永远发生,所以“知道必然事件发生”等于“什么都没知道”,自然不影响任意事件发生的概率;反过来,知不知道某事件发生,都不影响必然事件的发生。
    Jooooooooo
        9
    Jooooooooo  
       217 天前
    搜下概率论公理体系.
    Raven316
        10
    Raven316  
       217 天前
    所有事件(同时)发生的概率为 1-------哈哈什么鬼
    ipwx
        11
    ipwx  
       217 天前
    @Aalen 你这回答,不解决楼主的问题啊。而且 0 测度事件可能发生、P({x|x 是有理数}) = 0 这个结论要引入测度才能理解啊。
    Celebi
        12
    Celebi  
       217 天前
    @geelaw #8 你说的有道理,A 有可能是几乎不可能事件,条件概率中 P(A)>0 。

    我一开始看到楼主的问题也有点愣住,怎么会在学习独立的时候(才)碰到这个式子。我猜测楼主是想直观理解 P(Ω)=1 和 Ω与任意事件独立 这两件事。正如你所说,原因也很简单,前者是在刻画“必然事件以 1 的概率发生”,后者是因为“知道必然事件发生”等于“什么都没知道”。
    James369
        13
    James369  
    OP
       217 天前
    @Celebi #12 对,我就是这个意思,想直观的解释这个概念。不过感觉数学还是挺抽象的,像求解概率题目时,经常要把事件提前定义出来,然而定义事件这一步就很难。
    Aalen
        14
    Aalen  
       217 天前
    @ipwx 😜
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