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V2EX 第 656488 号会员,加入于 2023-10-26 16:39:20 +08:00
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12 天前
回复了 xmlf 创建的主题 生活 因为闺女学英语的事和老婆发生矛盾了
一年级不是不允许布置作业吗?写字课感觉完全没必要,可以把写字课替换为线上的一对一英文外教课,注意不要选菲教。
既然已知大环境不好,35 岁面临失业,那就在 35 岁前多攒钱少消费,不买房不结婚。灾年里牲口都知道不下崽儿了。放弃这些别说 800 万了,400 万也活得很滋润了。
根据我的个人经验,我上学时英文很差,词汇量很少学不懂语法完全没开过口,上班后阴差阳错的进了外企,泰国老板面试,全靠面试前临时死记硬背了一些面试题,所幸问的问题全都被我猜中了。进公司后把自己所有设备和系统的显示语言改成了英文(甚至包括平时玩的游戏里的语言),经常性的要和老外开会,大部分是进会听一听就好,只有个 bi weekly 的会需要汇报下近期工作。在这种环境工作一年后,虽然发音不标准,应付基本的会议和回邮件已经没啥问题了。
这公司一看就是搞网赌的,OP 肉身在国内的话就别接了。
我用的钱迹,18 年记到现在,只用最基本的功能,记录每一笔支出和收入,我也是不记录还贷还卡,例如京东买东西用的白条,我会在下单时就记上这笔,而不是还白条时统一记。
我是买的银行锁定票息的理财,3 点几的利息,每个月能有个两千来块还算稳定,当零花钱了。
30 天前
回复了 codingadog 创建的主题 OpenAI 你们的 gpt 还正常么(Android 手机端)
ver 1.2024.052 小米的,刚测了下都正常的
30 天前
回复了 zhouyin 创建的主题 问与答 你用的马桶是什么牌子 有什么特殊功能
本人鼻炎患者常年闻不到味道,不存在这种问题。
31 天前
回复了 Persimmon08 创建的主题 OpenAI 这个问题,大家的 GPT 都能答对吗?
kimi

为了求解函数 \( y = x \ln(1 + \frac{1}{x}) \) 当 \( x \) 趋近于 0 和正无穷时的极限,我们可以分别考虑这两个情况。

### 当 \( x \) 趋近于 0 时

当 \( x \) 趋近于 0 时,我们有:

\[ y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \]

由于 \( \ln(1) = 0 \),我们可以将 \( 1 + \frac{1}{x} \) 展开为 \( 1 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x} \),然后应用对数的性质:

\[ y = x \ln\left(x + \frac{1}{x}\right) \]

当 \( x \) 趋近于 0 时,\( \frac{1}{x} \) 趋近于正无穷,因此 \( x + \frac{1}{x} \) 趋近于 \( \frac{1}{x} \),所以:

\[ y \to 0 \ln\left(\frac{1}{x}\right) \]

由于对数函数 \( \ln \) 在 \( x \) 趋近于 0 时是无穷小量的高阶,所以:

\[ \lim_{x \to 0} y = \lim_{x \to 0} 0 \cdot \ln\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \cdot (-\infty) = 0 \]

### 当 \( x \) 趋近于正无穷时

当 \( x \) 趋近于正无穷时,我们有:

\[ y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) \]

由于 \( \frac{1}{x} \) 趋近于 0 ,我们可以利用对数的泰勒展开:

\[ \ln(1 + \epsilon) = \epsilon - \frac{\epsilon^2}{2} + o(\epsilon^2) \]

其中 \( \epsilon = \frac{1}{x} \),当 \( x \) 趋近于正无穷时,\( \epsilon \) 趋近于 0 。因此:

\[ y = x \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right) \right) \]

\[ y = 1 - \frac{1}{2x} + o\left(\frac{1}{x}\right) \]

由于 \( o\left(\frac{1}{x}\right) \) 表示比 \( \frac{1}{x} \) 更高阶的无穷小量,当 \( x \) 趋近于正无穷时,这一项将趋近于 0 。因此:

\[ \lim_{x \to \infty} y = 1 - 0 = 1 \]

综上所述,函数 \( y = x \ln(1 + \frac{1}{x}) \) 的极限在 \( x \) 趋近于 0 时为 0 ,在 \( x \) 趋近于正无穷时为 1 。
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